大村あつしオフィシャルブログ

ボクは知らなかったのですが、この問題はとても有名で、特にカジノでバカラをする人にとっては常識らしいです。

その問題とは、「モンティ・ホール問題」。

元々は、モンティ・ホールが司会を務めるアメリカのゲームショー番組に由来するそうですが、極めて単純な問題です。

①プレーヤーの前には３つのドアがあり、１つのドアの後ろには「あたり」の車が、２つのドアの後ろには、「はずれ」を意味するヤギがいます。

②プレーヤーは、「あたり」のドアを当てると、その車がもらえます。

③プレーヤーが１つのドアを選択した後、司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを１枚開けてヤギを見せます。

④ここでプレーヤーは、「最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更してもよい」と言われます。

そして、問題は、「このとき、プレーヤーはドアを変更するべきかどうか？」

ボクは、京都大学を卒業して、現在はテレビ番組関係の仕事をしている年下の友達に、GW中にこの問題を出されました。

そして、なんの迷いもなく

「ドアを変更しても、しなくても同じでしょう。だって、確率は2分の1じゃん」

と答えました。

すると、彼は言いました。

「大村さん、間違えてますよ。

正解は、『ドアを変更するべき』です。

なぜなら、ドアを変更した場合には、「あたり」を当てる確率が２倍になるからです」

正直、「こいつ、何を言ってるんだ」と思いました(笑)。

すると、京都大学の理系の学部（学部は伏せます）を卒業している彼が続けました。

「まあ、間違えて当然ですよ。

ボクが大学生のとき、数学の時間に先生がこの問題を出したんですが、

出席者全員が間違えましたから。

でも、説明を聞くと、中学生でも簡単にわかるんですよね」

ということで、早速、この問題の正解を見ていきましょう。

まずは、単純化するために、２つの条件を付けます。

・回答者は、必ずＡの扉を選ぶ

・回答者は、必ず扉を変更する

では、最初のケースです。

①

Ａ　Ｂ　Ｃ

○　×　×

これは、Ａの扉が正解の場合です。

この場合、扉係は、ＢかＣのいずれかの「はずれ」を開かなければなりませんが、どちらでも同じことなので、ここではＣの扉を開いたとしましょう。

そして、回答者は、「必ず扉を変更する」わけですから、扉をＡからＢに選び直して「はずれ」となります。

②

Ａ　Ｂ　Ｃ 

×　○　×

今度は、Ｂの扉が正解で、回答者は「はずれ」のＡの扉を選んでしまいました。

このとき、扉係は、Ｂの扉は開けませんので、「はずれ」のＣの扉を開きます。

そして、回答者は、「必ず扉を変更する」わけですから、扉をＡからＢに選び直して「あたり」となります。

③

Ａ　Ｂ　Ｃ 

×　×　 ○

今度は、Ｃの扉が正解で、回答者は「はずれ」のＡの扉を選んでしまいました。

このとき、扉係は、Ｃの扉は開けませんので、「はずれ」のＢの扉を開きます。

そして、回答者は、「必ず扉を変更する」わけですから、扉をＡからＣに選び直して「あたり」となります。

いかがでしょうか。

話をかなり簡素化していますが、次のことがわかりましたか？

扉を変更した場合のはずれる確率→3分の1

扉を変更した場合の当たる確率→3分の2

見事に、扉を変更したほうが、当たる確率が２倍になっています。

実は、この問題は、「100枚の扉」で考えると、さらに単純になります。

まず、100枚の扉から1枚だけ選びます。

そして、この扉が「あたり」の確率は、もちろん100分の1です。

まあ、ほぼ確実に「はずれ」を選んでいますので、ここでは「はずれ」を選んだと仮定しましょう。

そして、扉係は、残った99枚の扉のうち、「あたり」ではない98枚の扉を開きます。

すなわち、扉係が開かなかった、残った扉が「あたり」です。

このような問題なら、誰も迷わずに、「扉は変更したほうが良い」とわかります。

要するに、これは「確率」というよりも「錯覚」の話です。

選んだ扉が「あたり」の確率は100分の1。

それ以外の扉に「あたり」が入っている確率は100分の99。

そして、あなたは、「100分の1の確率で当たる扉と、100分の99の確率で当たる扉のどちらを選びますか？」という問題なのです。

ところが、この扉の枚数が３枚と少なくなってしまうと、混乱してしまうわけです。

しかし、扉の枚数が３枚だろうと、100枚だろうと、理論的にはなんの違いもありません。

扉は、変更するべきなのです。

ちなみに、扉を変更したときに「あたり」を引く倍率は、「扉の枚数－１」倍になります。

３枚なら、扉を変更すれば、当たる確率は２倍に。

100枚なら、扉を変更すれば、当たる確率は99倍になります。

つくづく思うのですが、この問題が解ける人の地頭の良さも凄いですが、最初にこうした「錯覚」を思い付く人の頭の中ってどうなっているんでしょうね。

ちなみに、このモンティ・ホール問題は、IQ225で「世界一の天才」としてギネス認定されているマリリン・ボス・サヴァントさんが雑誌のコラムで見事に正解を示すと、多くの数学者の反論を買ったそうです。

ちょっと問題をひねられるとわからなくなってしまう数学者に、マリリンさんは歯がゆい思いをしたでしょうね。

「世界一の天才」にとっては、きっと「朝飯前」の問題だったでしょうから。

もっとも、彼女がこう言ったかは定かではありませんが。

“It’s a piece of cake!”

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